高等数学

①函数、极限、连续

1.函数

一、函数的概念

1. 函数的定义

   $$y=f(x),x\in \mathcal{D}$$

   $x$自变量，$y$因变量
   $x$的变化范围定义域，函数值构成的集合$\{y=f(x)x\in \mathcal{D}\}$值域

2. 三种常用特殊函数

   • 分段函数
   • 隐函数
   • 参数方程确定的函数

二、函数的性质

1. 函数的单调性
   增函数，减函数

2. 函数的奇偶性
   奇函数：$f(-x)=-f(x)$，图像关于原点对称
   偶函数：$f(x)=f(-x)$，图像关于y轴对称

3. 函数的有界性
   $\mathrm{\forall }x$恒有$|f(x)|\le \mathcal{M}$有界函数
上界，下界
无界函数

4. 函数的周期性
   $f(x+T)=f(x)$周期函数

三、反函数

• $x=g(y)=f^{-1}(y)$，$g$是$f$的反函数
• 只有一一对应的函数才有反函数
• $y=f(x)$与$y=f^{-1}(x)$图像关于y=x对称

四、函数的四则运算与复合运算

1. 函数的四则运算

   加法	$f(x)+g(x)=(f+g)(x)$	$x\in \mathcal{D}$
   数乘	$kf(x)=(kf)(x)$	$x\in \mathcal{D}$
   乘法	$f(x)g(x)=(fg)(x)$	$x\in \mathcal{D}$
   除法	$\frac{f(x)}{g(x)}=(\frac{f}{g})(x)$	$g(x)\ne 0,x\in \mathcal{D}$

2. 函数的复合运算
   设函数$y=f(u)$的定义域${\mathcal{D}}_f$，函数$u=g(x)$的定义域${\mathcal{D}}_g$，且值域${\mathcal{R}}_g\subseteq {\mathcal{D}}_f$

   $$y=f[g(x)],x\in {\mathcal{D}}_g$$

   由$y=f(u)$和$u=g(x)$构成的复合函数，函数的复合运算记作$f\circ g$

五、基本初等函数

• 常值函数，$y=C$
• 幂函数，$y=x^{\alpha }$
• 指数函数，$y=a^x$
• 对数函数，$y={\log }_{a}x$
• 三角函数，$y=\sin x$，$y=\cos x$，$y=\tan x$
• 反三角函数，$y=\arcsin x$，$y=\arccos x$，$y=\arctan x$

2.极限

一、数列极限

1. 数列的定义$$a_1,a_2,\cdots ,a_n,\cdots$$数列$\{a_n\}$，$a_n$通项
2. 数列极限的定义$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a$$$a$数列的极限
3. 数列极限的性质
   • 唯一性：数列极限的结果唯一
   • 有界性：收敛数列必有界
   • 夹逼定理：当左数列与右数列的极限相同时，夹在其中间数列的极限相同
   • 单调有界性：单调有界数列必有极限
   • 四则运算法则：$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\alpha x_n+\beta y_n)=\alpha A+\beta B$$$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(x_n\cdot y_n)=AB$$$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x_n}{y_n}=\frac{A}{B},(B\ne 0)$$

二、函数在$x\to x_0$时的极限

• 极限，左极限，右极限
• $$\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=A,\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=A⟺li{m}_{x\to x_0}=A$$

三、函数在无穷远的极限

• 函数在$x\to \mathrm{\infty }$时的极限

3.函数极限的性质与运算

一、函数极限的运算

1. 极限的四则运算$$\underset{x\to x_0}{lim}[f(x)\pm g(x)]=A\pm B$$$$\underset{x\to x_0}{lim}[f(x)g(x)]=AB$$$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B},(B\ne 0)$$
2. 夹逼定理$$g(x)\le f(x)\le h(x),\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=A,\underset{x\to x_0}{lim}h(x)=A\Rightarrow \underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A$$
3. 两个重要极限*$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1$$$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$$

4.无穷小量与无穷大量

一、无穷小量与无穷大量的概念

1. 无穷小量

   $$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=0$$

2. 无穷大量

   $$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$$

   正无穷大量	$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }$
   负无穷大量	$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }$

• 无穷小量与有界量的乘积等于0
• 无穷小量的倒数为无穷大，无穷大的倒数为无穷小

二、无穷小量的比较

1. 无穷小量的比较
   设$f(x)$，$g(x)$都是$x\to x_0$时的无穷小量，且$g(x)$在$x_0$的去心邻域内不为0

   若$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=c$，则当	称$f(x)$是$g(x)$在$x\to x_0$时的
   $c=0$	高阶无穷小量
   $c=1$	等价无穷小量
   $c=\mathrm{\infty }$	低阶无穷小量
   $c\ne 0$，$c\in \mathbb{R}$	同阶无穷小量

2. 极限$x\to 0$时的等价无穷小量
   常用等价无穷小替换公式

   ① $\sin x\sim x$	⑤ $e^x-1\sim x$	⑨ $x-\ln (1+x)\sim \frac{1}{2}{x}^2$
   ② $\tan x\sim x$	⑥ $1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2$	⑩ $\sqrt{1+x}-1\sim \frac{1}{2}x$
   ③ $\arcsin x\sim x$	⑦ $a^x-1\sim x\ln a$	⑪ $\tan x-\sin x\sim \frac{1}{2}{x}^3$
   ④ $\arctan x\sim x$	⑧ $\ln (1+x)\sim x$	⑫ $\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}\sim x$

3. 等价无穷小的重要性质
   等价无穷小的传递性：在同一极限中，若$\alpha (x)\sim \beta (x)$，$\beta (x)\sim \gamma (x)$，则$\alpha (x)\sim \gamma (x)$

5.连续函数的概念与性质

一、函数的连续与间断

1. 函数在一点连续的概念
   设函数$f(x)$在$x_0$及其附近有定义，若$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=f(x_0)$成立，则函数$f(x)$在$x_0$处连续，$x_0$称为函数$f(x)$的连续点

2. 左连续、右连续
   设函数$y=f(x)$在$x_0$的某个邻域内有定义，

   条件	称函数$f(x)$在点$x_0$处
   $\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=f(x_0)$	左连续
   $\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=f(x_0)$	右连续

3. 函数间断点的定义
   设函数$y=f(x)$在$x_0$的某个邻域内有定义，如果函数$f(x)$有下列三种情形之一：
   · 在点$x=x_0$处无定义
   · $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$不存在
   · $\underset{x\to x_0}{lim}\ne f(x_0)$
   则函数$f(x)$在点$x_0$处不连续，点$x_0$称为函数$f(x)$的间断点

4. 间断点的分类

   • 第一类间断点：$x_0$是函数$f(x)$的间断点，且$\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)$和$\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)$都存在

     条件	结论
     $\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)$	可去间断点
     $\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)\ne \underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)$	跳跃间断点

   • 第二类间断点

     条件	结论
     $\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$或$\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$	无穷间断点
     $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$不存在	振荡间断点

5. 函数连续的性质
   · 设函数$f(x)$和$g(x)$在点$x_0$处连续，$f\pm g$、$f\cdot g$、$[\frac{f}{g},(g(x_0)\ne 0)]$都在点$x_0$处连续
   · 设函数$y=f[g(x)]$由函数$y=f(u)$与函数$u=g(x)$复合而成，$\mathcal{U}(x)\subseteq {\mathcal{D}}_{f\circ g}$，若函数$u=g(x)$在$x=x_0$处连续，且$g(x_0)=u_0$，而函数$y=f(u)$在$u=u_0$处连续，则复合函数$y=f[g(x)]$在$x=x_0$处连续

6. 闭区间上连续函数的性质
   · 最大值和最小值定理：若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上必定取得最大值和最小值
   · 有界性定理：若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上必有界
   · 界值定理：若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且在这区间的端点取不同的函数值$f(a)=A$和$f(b)=B$，则对于$A$和$B$之间的任意一个数$C$，在开区间$(a,b)$内至少有一点$\xi$，使得$f(\xi )=C(a<\xi <b)$
   · 推论1：若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，$M$和$m$分别是$f(x)$在$[a,b]$上的最大值和最小值，则对于满足$m<\mu <M$的任何实数$\mu$，至少存在一点$\xi \in (a,b)$使得$f(\xi )=\mu$
   · 推论2（零点定理）：若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)$与$f(b)$异号（即$f(a)f(b)<0$）,则至少存在一点$\xi \in (a,b)$使得$f(\xi )=0$

7. 初等函数的连续性
   · 基本初等函数在其定义域内为初等函数
   · 初等函数在其定义区间内为连续函数